2026年秋季  复变函数

 

授课教师：李智强

办公室: 78105W-1
答疑时间: 预约
E-mail: zli at math.pku.edu.cn

地点时间:

地点：二教411，第一周至第十六周，周二5-6节，周四5-6节（单周）

课程目的:

复变函数是为数学学院各个专业开设的一门重要基础课. 通过课程学习使得同学理解和掌握复变函数的基本理论，进一步加强对数学抽象思维, 逻辑推理和计算能力的训练，体会复变函数所表现的数学理论的优美之处，了解复变函数理论的相关应用。

内容提要:

一. 复数及扩充复平面 （约5学时）
复数的表示和运算，复平面的完备性，复变量, 圆和直线方程及其对称点，扩充复平面，复值连续函数。
二, 解析函数定义及基本性质 （约6学时）
复函数关于复变量的导数, 导数的几何意义，Cauchy-Riemann方程，单连通区域上处处不为零的解析函数的对数和根式，分式线性变换，初等解析函数，简单Riemann面。
三, Cauchy定理和Cauchy公式（约7学时）
路径积分，Green公式与Cauchy定理，Cauchy公式，解析函数局部幂级数展开的存在性，幂级数的简单应用, 解析函数的零点孤立性和解析函数唯一性定理，Morera定理，平均值定理，最大模原理和Schwarz引理，单位圆盘的解析自同胚群，非欧几何简介。
四, Laurent级数（约6学时）
环形区域上解析函数的Laurent级数，孤立奇点分类，亚纯函数，复平面和扩充复平面的解析自同胚群。
五, 留数定理和辐角原理（约6学时）
留数定义及其计算，幅角原理，Rouche定理，解析函数的零点个数估计，单叶解析函数性质, 解析函数的开映射定理，利用留数定理计算某些特殊定积分。
六, 解析开拓（约6学时）
解析开拓的幂级数方法, 延曲线的解析开拓, 解析开拓与路径的关系, 单值性定理， 对称原理。
七, Riemann映射定理（约5学时）
正规族和Montel定理，Riemann映射定理。
八, 调和函数简介（约3学时）
Poisson公式，次调和函数，Dirichlet问题。

参考书目：

1.复变函数，谭小江、伍胜健编著，北京大学出版社。

2.Functions of One Complex Variable，John B. Conway，Springer

3.Complex Analysis，Lars V. Ahlfors，McGraw-Hill

4.Complex Analysis，Elias M. Stein & Rami Shakarchi，Princeton University Press

5.Real and Complex Analysis，Walter Rudin，McGraw-Hill

评分方法：

作业（30%），期中考试（30%），期末考试（40%）。

期中考试安排：

时间：10月27日

地点：随堂

期末考试安排：

时间：2026年12月29日下午

地点：待定

作业布置:

可以随堂交，也可以邮件交给助教。

 

奇数次作业交给孙中天（2501110020@stu.pku.edu.cn），偶数次作业交给刘锦龙 （2601110016@stu.pku.edu.cn）。

 

作业一：Conway p4 Ex.3, p6 Ex.7, p17, Ex.5, p20 Ex.6&8.(9月22日交)

作业二：Conway p24 Ex.6, p28 Ex.4&8, p29, Ex.1, p44, Ex.14 (9月29日交)

作业三：Conway p33 Ex.6,7, p44 Ex.13 (10月13日交)

作业四：Conway p55 Ex.8, 15, 25 (10月20日交)

作业五：Conway p67 Ex.7, 19, 23，p74 Ex.4 (11月3日交)

作业六：Conway p.80: Ex. 1, 3, 4, 10; p.83: Ex. 1 (11月10日交)

 

 

Last Updated: 10/23/2026